geostatistik

MODEL-MODEL ANISOTROPI

Sering terjadi, sampel arah variogram akan memperlihatkan perubahan besar dalam range atau sill sebagai perubahan arah. Contoh pada Gambar 16.3a memperlihatkan sebuah tampilan isometrik dari sebuah permukaan variogram dimana range berubah bersama arahnya, sementara sill tetap konstan. Model anisotropi ini dikenal sebagai anisotropi geometrik. Pada kasus anisotropi zonal, sill berubah bersama arah sementara range tetap konstan. Contoh pada Gambar 16.3b memperlihatkan kedua range dan sill berubah bersama arah dan merupakan sebuah penggabungan dari kedua anisotropi geometrik dan anisotropi zonal.

Seperti yang telah diberikan satu set sampel variogram yang memperlihatkan range dan/atau sill secara nyata berubah bersama arah, salah satunya memulai dengan mengidentifikasi sumbu anisotropi. Hal ini biasanya terselesaikan oleh penentuan secara eksperimental terhadap arah yang

Gambar 16.3. Pada (a), gambar isometrik dari permukaan variogram

memperlihatkan sebuah contoh dari sebuah anisotropi geometrik, dimana range-nya berubah bersama arahnya sementara sill-nya tetap konstan. Model anisotropi lainnya yaitu zonal, dimana sill-nya berubah bersama arahnya sementara range-nya tetap konstan. Sebuah penggabungan dari kedua anisotropi ini diperlihatkan pada (b).  

Menghubungkan range minimum dan maksimum atau sill maksimim dan miminum dalam hal ini adalah anisotropi zonal (7). Peta kontur dari pemukaan variogram, seperti pada salah satu yang diperlihatkan Gambar 7.6, adalah sangat berguna untuk mementukan arah-arah ini. Alternatif lainnya, yang juga diperlihatkan pada Bab 7, adalah untuk menggambar range eksperimental untuk sampel variogram yang berbeda arah pada sebuah diagram mawar (merah jambu).

Informasi kualitatif, seperti orientasi unit litologi atau bidang perlapisan, biasanya sangat membantu

Gambar 16.4. Gambar di atas memperlihatkan kesetaraan antara sebuah model transisi dengan nilai range a dan model transisi dengan nilai range 1 dan memiliki nilai sill yang sama. Kedua model ini adalah setara dalam hal memudahkan mereka untuk dievaluasi menggunakan vektor h dan h/a secara berturut-turut.

Dalam mengidentifikasi sumbu anisotropi. Sebuah pengetahuan tentang studi kasus genesa kejadian alam sangat membantu pula. Sebagai contoh, polusi udara adalah kemungkinan besar lebih kuat dalam mempengaruhi arah angin dibandingkan dengan sebuah arah yang tegak lurus.

Setelah mengidentifikasi sumbu anisotropi, langkah selanjutnya dalah menggabungkan antara sebuah model yang memaparkan bagaimana variogram mengalami perubahan pada jarak dan perubahan arahnya. Untuk sekarang kita akan bekerja pada sistem koordinat yang didefinisikan oleh sumbu anisotropi. Segera setelah kita melihat bagaimana membangun sebuah model yang lengkap dalam sistem koordinat ini, kita akan mencari sebuah metode yang dapat membolehkan model variogram digunakan dalam data sistem koordinat.

Satu metode untuk mengombinasikan model dengan beragam arah ke dalam sebuah model yang konsisten dalam semua arah dalam rangka mendefinisikan sebuah perubahan yang mengurangi semua variogram berarah menjadi sebuah model pada umumnya dengan nilai range yang terstandardisasi 1. Caranya ialah dengan mengubah jarak pemisah sehingga model yang terstandardisasi akan membantu kita dengan sebuah nilai variogram yang identik dengan model berarah manapun untuk jarak pemisah tersebut.

Sebagai contoh, dua model variogram transisi dengan sill yang sama seperti yang diperlihatkan pada Gambar 16.4. Salah satunya mempunyai nilai range 1, sementara yang lainnya mempunyai nilai range a. Perhatikan bahwa jika kita mengevaluasi model dengan nilai range 1 pada jarak h / a kita akan mendapatkan nilai yang sama sehingga kita dapat mengevaluasi model dengan kisaran pada jarak h. Dengan demikian kita telah efektif mengurangi model dengan kisaran a ke model ekivalen dengan kisaran 1 dengan mengurangi jarak  pemisahan h ke h / a. Kita dapat mengekspresikan persamaan ini sebagai berikut

ɣ1 ( ) = ɣa (h) atau ɣ1 (h) = ɣa (ah)                                    (16.11)

Atau jika kita membiarkan h1 sama  maka,

ɣ1 (h1)= ɣa (h)                                                           (16.12)

Dengan demikian setiap model directional dengan kisaran a dapat dikurangi menjadi model standar dengan kisaran 1 hanya dengan mengganti jarak pemisahan, h, dengan penurunan jarak h / a.

Konsep dari sebuah model yang sama dan penurunan jarak dapat diperluas ke bentuk dua dimensi. Jika rentang ax pada bidang ax dan rentang ay pada bidang y, maka model variogram anisotropic dapat dinyatakan sebagai berikut

ɣ (h)= ɣ(hx,hy) = ɣ1 (h1)                                           (16.13)

Dan penurunan  jarak h1 sebagai berikut:

                                      h1=√(((hx  )/ax)2+( hy/ay  )2   )   (16.14)

Dimana hx adalah komponen h sepanjang sumbu x dan hy adalah komponen sepanjang sumbu y.

Demikian pula, model variogram anisotropik dalam tiga dimensi, dengan rentang ax, ay, dan az dapat dinyatakan sebagai berikut

ɣ (h) = ɣ (hx, hy, hz) = ɣ1 (h1)                                 (16.15)

dan penurunan jarak h1 sebagai berikut

   

                          h1=√(((hx  )/ax)2+( hy/ay  )2+(hz/az  )2    )           (16.16)

Gambar 16.5 model arah transisi variogram sepanjang sumbu dari tiga dimensi geometris anisotropi.

Metode yang digunakan pada model  yang sama dan penurunan jarak juga bekerja dengan model yang tidak mencapai sebuah  ambang. Persamaan itu melalui 16.12 16.16 juga dapat diterapkan untuk model linier arah dengan  lereng ax, ay, dan az. Penurunan jarak  akan axh, ayh, dan azh dan model isotropik setara dengan kemiringan 1 diberikan oleh ɣ1 (axh) = ɣax (h), dll

Dalam paragraf berikut kami telah menyediakan beberapa contoh model yang berbeda yang menggunakan model yang setara dan trik penurunan jarak. Persamaan model akhir dalam tiga dimensi juga disediakan untuk setiap contoh.

Geometrik anisotropi- satu struktur

Ingat bahwa anisotropi geometris ditandai dengan Variogram arah sampel  yang memiliki  ambang yang sama tetapi rentang yang berbeda (dalam kasus variogram linier, lereng akan bervariasi dengan arah). Gambar 16.5 menunjukkan tiga arah  model variogram sepanjang tiga sumbu tegak lurus dari anisotropi tersebut. Setiap arah model  hanya terdiri dari satu struktur dan ketiga memiliki nilai ambang yang sama, rentang mereka berbeda. Tiga  model dimensi variogram untuk angka 16.5 diberikan oleh

ɣ (h) = | Ѱ1 | ɣ1 (h1)             (16.17)

dan penurunan jarak h1 adalah

    

                       h1=√(((hx  )/ax)2+( hy/ay  )2+(hz/az  )2    )      (16.18)

Gambar 16.6 contoh kedua dari variogram arah  model transisi sepanjang sumbu dari bentuk tiga dimensi geometris anisotropi. Contoh ini, masing-masing arah model terdiri dari tiga struktur. Pertama nugget dengan koefisien Ѱ0. Kedua adalah struktur transisi dengan kisaran ax,1; ay,1;az,1 dan koefisien Ѱ1. Ketiga adalah struktur transisi dengan kisaran ax,2; ay,2;az,2 dan koefisien Ѱ2

Dimana  ax, ay dan az adalah rentang arah model variogram sepanjang sumbu anisotropi tersebut: hx, hy dan hz merupakan komponen dari h dalam arah x, y, dan z dari sumbu anisotropi dan ɣ1 (h1) adalah model setara dengan berbagai standar 1. Perhatikan bahwa untuk setiap struktur bersarang untuk setiap arah model semua harus jenis yang sama. Artinya, semua  arah model harus berupa bola, eksponensial, atau beberapa model lain yang cocok untuk setiap struktur bersarang, namun jenis model dapat berbeda dari satu struktur bersarang ke yang berikutnya. Sebagai contoh struktur nusted pertama untuk masing-masing directionals mungkin terdiri dari model bola sementara struktur bersarang kedua bisa menjadi model eksponensial.

Geometris anisotropi-nugget dan dua struktur.

Masalah pemodelan yang biasa ditemui dalam praktek ditunjukkan pada Gambar 16.6. masing-masing arah model terdiri dari tiga struktur, efek nugget dan dua struktur transisi tambahan. Efek nugget adalah isotropik dalam tiga arah sementara struktur dua sisanya isotropik di bidang  x, y tetapi menunjukkan anisotropi antara arah z dan bidang  x, y. Kami akan membangun model tiga  dimensi untuk contoh ini dengan mempertimbangkan setiap struktur secara bergantian.

Efek nugget adalah isotropik dan dapat langsung dimodelkan. Persamaan yang dapat diberikan adalah :

ɣ(h) = ω₀ɣ₀(h)                         (16.19)

Dimana ɣ₀(h) didefinisikan oleh persamaan 16.5

Struktur selanjutnya telah teridentifikasi pada gambar 16.6 dengan jarak antara a_x,1,a_y,1 dan a_x,1 serta koefisien ω₁. Struktur ini isotropik pada bidang x,y tetapi menunjukkan anisotropi antara bidang x, y dan arah z. Persamaan yang dapat diberikan dari struktur model isotropik ini adalah :  

                               ɣ(h) =I ω₁ I  ɣ₁(h₁)                           (16.20)

dan pada h₁  jarak diperkecil 

                    h₁ =        √((hx/(ax,1))2+(hy/(ay,1))2+(hz/(az,1))2)           (16.21)

Untuk struktur terakhir, jarak sepanjang tiga sumbu utama unisotropi  yang diberikan adalah a_x,2, a_y,2, a_z,2 dan pada koefisien ω₂. Struktur ini juga isotropik dalam bidang x, y dan menunjukkan anisotropik antara bidang x,y dan arah z. Persamaan yang dapat diberikan dari model isotropik ini adalah 

                                     ɣ(h) =I ω₂ I  ɣ₁(h₂)                                (16.22)

dan pada h₂  jarak diperkecil

                   h₂ =       √((hx/(ax,2))2+(hy/(ay,2))2+(hz/(az,2))2)           (16.23)

Model tiga dimensi anisotropik lengkap diperoleh dengan menggabungkan tiga model isotropik setara dari persamaan 16.19 melalui persamaan 16.22 untuk mendapatkan :

                      ɣ(h) = ω₀ɣ₀(h) + ω₁ɣ₁(h₁) + ω₂ɣ₁(h₂)                                      (16.24)

Untuk meringkas, Geometris anisotropi memerlukan kejelian dalam pemodelan Variogram sampel terarah. Semua arah model - model variogram harus memiliki nilai-nilai ambang yang sama. Setiap struktur bersarang di setiap arah model variogram tertentu harus muncul dalam semua model arah lain dengan ω koefisien yang sama.

Gambar 16.7 geometris model variogram unisotropic terlihat pada (a) telah digabungkan dengan komponen terarah (zonal) terlihat pada (b) dalam campuran yang terjadi terlihat pada (c).

Gambar 16.7a menunjukkan pandangan perspektif dari permukaan geometris variogram dimana jarak dan arah mengalami perubahan sementara ambang tetap konstan. Gambar 16.7b menunjukkan permukaan zonal variogram dimana variogram hanya berubah dalam satu arah. Gambar 16.7c, menunjukkan model yang dihasilkan diperoleh dengan menggabungkan anisotropi geometris ditunjukkan pada Gambar 16.7a dengan model zonal yang ditunjukkan pada Gambar 16.7b. Kedua ambang dan jarak dengan arah dalam model gabungan.

Gambar 16.8 Ketiga contoh dari transisi  arah model variogram sepanjang sumbu anisotropi tiga dimensi. Model arah sepanjang sumbu x dan y menunjukkan ambang yang sama, ω₁, tapi dengan jarak yang berbeda. Namun, model arah sepanjang sumbu z menunjukkan berbagai arah dan ambang yang berbeda dan menunjukkan campuran antara geometris dan zonal anisotropi.

Zonal dan geometrik Anisotropi. Sebuah zonal anisotropi adalah suatu perubahan nilai ambang dengan arah dimana jarak tetap konstan. Dalam prakteknya kita jarang menemukan zonal anisotropi murni, melainkan lebih umum untuk menemukan campuran dari zonal anisotropi dan geometris bersama.

Contoh pada Gambar 16.8 terdiri dari tiga arah model variogram sepanjang sumbu anisotropi tersebut. Setiap arah model terdiri dari satu struktur. Arah model sepanjang sumbu x dan y memiliki ambang yang sama, tetapi kisaran yang berbeda. Arah model sepanjang sumbu z memiliki jangkauan lebih pendek dan ambang yang lebih besar dari arah model untuk x dan y. Model isotropik untuk anisotropi terdiri dari dua struktur yang mirip dengan model diilustrasikan pada Gambar 16.7a dan b. Struktur pertama dimodelkan sebagai anisotropi geometris, sedangkan yang kedua dimodelkan sebagai komponen zonal menggunakan model terarah.

persamaan model untuk sebuah struktur pertama akan menjadi model isotropic dengan nilai sebuah sill w₁ dan  range bernilai 1. Itu sangat penting menjadi catatan bahwa model ini adalah isotropik, yang berarti  nilai tersebut harus kembali ke w₁ ketika dievaluasi pada sebuah vector (0,0,AZ).Persamaannya menjadi

                      

                                           γ (h)=[ω_1]γ_(1 ) (h_1)           (16.25)           

Dan dikurangi jarak h₁ adalah :

h_1= √(〖(h_z/a_z )〗^2+〖(h_y/a_y )〗^2+〖(h_x/a_x )〗^2 )     (16.26)

Struktur kedua mempunyai sill w₂ dan hanya ada  pada arah h_z. komponen zona ini dimodelkan menggunakan sebuah persamaan variogram arah dalam sebuah arah z

                              γ (h)=ω_2 γ_(1 ) (h_2)            (16.27)

Dan dikurangi jarak h₂ adalah

   

                        h_2=  h_z/a_z                                 (16.28)

Model komplit menjadi 

γ (h)=ω_1 γ_(1 ) (h_1 )+ω_2 γ_(1 ) (h_2)                 (16.29)